Um professor universitário do curso de Licenciatura em Matemática deseja criar um material didático sobre análise combinatória para seus alunos, futuros docentes dessa disciplina. Uma das questões desse material é apresentada a seguir.
Questão
Dado um quadriculado 5 por 5, como na figura abaixo, à esquerda, deseja-se saber quantos caminhos existem da origem (0,0) até o ponto = (5,5), caminhando-se somente para a direita ou para cima, de modo que, em cada ponto do percurso, ao menos uma das coordenadas seja inteira. A mudança de direção só é permitida em pontos com ambas as coordenadas inteiras. Um caminho possível está mostrado na figura abaixo, à direita.
Uma estratégia de contagem da quantidade total dos caminhos descritos na questão acima é adotar a letra “c” para cada passo unitário para cima e a letra “d” para cada passo unitário para a direita.
Na grade 5×5, um caminho pode ser representado por cinco letras “c” e cinco letras “d”, da origem (0,0) até o ponto Q, cuja ordem depende do caminho. Desse modo, a quantidade de caminhos possíveis da origem (0,0) até o ponto Q será a quantidade de permutações dessas dez letras, com elementos repetidos.
Considerando a situação hipotética apresentada e pensando na generalização como um fator da modelagem matemática, faça o que se pede a seguir.
1 Elabore a resposta esperada para a questão posta na situação acima de acordo com a estratégia apresentada, contabilizando a quantidade de caminhos existentes da origem (0,0) até o ponto Q = (5,5), nas condições elencadas no problema. [valor: 3,00 pontos]
2 Reformule a questão apresentada para uma grade qualquer M por M, em que M seja um inteiro positivo, mantendo as regras de deslocamento acima apresentadas. [valor: 3,00 pontos]
3 Mostre como ficaria a resposta esperada no caso geral, ou seja, determine a fórmula para a quantidade de caminhos nessa grade generalizada M por M. [valor: 2,00 pontos]
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