Para responder à discursiva de Estatística do Cebraspe, apresente o raciocínio que sustenta cada resultado. Quando o comando pede uma explicação, relacione conceitos e aplicações. Quando exige uma demonstração, indique as hipóteses, desenvolva as expressões e justifique a conclusão.
As questões do TSE Unificado e da Procuradoria-Geral do Distrito Federal (PGDF) permitem praticar essas duas formas de resposta. A análise a seguir comenta testes qui-quadrado, estimação por máxima verossimilhança e erro quadrático médio, com fórmulas e orientações para organizar a escrita.
Como responder à discursiva de Estatística do Cebraspe?
Leia os verbos do comando e planeje o desenvolvimento correspondente a cada pedido. Para explicar, apresente a relação entre os conceitos. Para exemplificar, descreva uma aplicação que permita reconhecer o método. Para obter um estimador ou determinar uma distribuição, mostre as etapas matemáticas que justificam o resultado.
No caderno do TSE Unificado de 2024, a questão de Estatística exigiu explicações e exemplos sobre testes qui-quadrado. Já o caderno da PGDF, referente ao edital de 2019, apresentou uma situação de inferência estatística com três resultados a desenvolver.
Esses exemplos comprovam cobranças anteriores, mas não permitem estabelecer quais assuntos são mais frequentes. Selecione os exercícios de acordo com o conteúdo programático do seu concurso.
TSE: testes qui-quadrado
A prova de Analista Judiciário, especialidade Estatística, do TSE Unificado de 2024 exigiu relacionar testes, exemplificar aplicações e explicar condições de uso. O enunciado oficial distribuiu a tarefa em quatro comandos:
- Relacionar o teste qui-quadrado ao teste da razão de verossimilhança.
- Descrever e exemplificar o teste de aderência.
- Exemplificar os testes de homogeneidade e independência.
- Explicar suposições e limitações.
Ao montar o roteiro, separe também os pedidos dentro de cada comando. No segundo, por exemplo, a descrição do teste e seu exemplo precisam aparecer na resposta. Uma definição correta, sozinha, deixa uma parte da tarefa sem atendimento.
Relação entre as estatísticas
O padrão definitivo do TSE relaciona a estatística de Pearson à estatística da razão de verossimilhança no modelo multinomial. Usando Oi para a frequência observada e Ei para a esperada sob a hipótese nula, podemos escrever:
χ² = Σ [(Oi − Ei)² / Ei]
G² = 2 Σ [Oi ln(Oi / Ei)]
As somas percorrem as categorias, com Ei > 0; ln é o logaritmo natural. Na segunda expressão, uma categoria com frequência observada zero contribui com zero, por limite. Sob a hipótese nula e as condições da aproximação assintótica, ambas têm a mesma distribuição qui-quadrado limite. Isso não significa que produzam valores numericamente iguais em toda amostra.
Um exemplo de aderência com cálculo
Exemplo didático criado para este artigo, não retirado da prova: considere uma amostra de 90 atendimentos independentes, classificados em três canais exclusivos. Deseja-se testar se cada canal tem probabilidade de 1/3. Foram observadas as contagens 24, 36 e 30.
Sob a hipótese nula, cada frequência esperada é 90 × 1/3 = 30. O cálculo fica:
χ² = (24 − 30)²/30 + (36 − 30)²/30 + (30 − 30)²/30 = 2,4.
O desenvolvimento deve explicar de onde vieram os valores esperados e qual hipótese está sendo examinada. Para concluir o teste, ainda seria necessário comparar o valor-p ao nível de significância adotado. O número 2,4, isoladamente, não informa a decisão.
Homogeneidade, independência e condições de uso
Os dois testes respondem a perguntas diferentes. Estes são exemplos didáticos de aplicação:
- Homogeneidade: comparar, em amostras independentes de dois municípios, a distribuição dos canais de atendimento utilizados.
- Independência: investigar, em uma população, se a faixa etária está associada ao canal de atendimento escolhido.
Para as condições de uso, o padrão do TSE menciona observações independentes, categorias mutuamente exclusivas e frequências esperadas suficientes para a aproximação. Apresenta frequências esperadas de pelo menos cinco como regra prática. Relacione a limitação à aproximação da distribuição do teste, que pode ser inadequada em amostras pequenas ou com baixas frequências esperadas.
Antes de terminar, confira se o texto contém um exemplo para cada aplicação solicitada. Você pode consultar o enunciado completo da questão do TSE sobre testes qui-quadrado no Sistema de Questões Discursivas.
PGDF: estimação e erro quadrático médio
A questão de Analista Jurídico, especialidade Estatística, da PGDF exigiu obter estimadores e justificar sua distribuição e seu erro. A aplicação ocorreu em 29 de agosto de 2021, conforme o padrão definitivo da PGDF, embora o caderno identifique o edital como de 2019.
No enunciado oficial, a quantidade desperdiçada de um material, em quilogramas, seguia distribuição uniforme contínua no intervalo [0, L], com L > 0 desconhecido. A partir de uma amostra aleatória de tamanho n, era necessário obter o estimador de máxima verossimilhança do desvio padrão, apresentar a distribuição exata do estimador de L e determinar seu erro quadrático médio.
Acompanhe um desenvolvimento comentado. As expressões abaixo servem ao estudo das etapas; não constituem uma transcrição nem um modelo de resposta ajustado ao espaço da prova.
Por que o máximo amostral estima L?
Defina M = max(X1, …, Xn). Para uma amostra observada, com máximo m, a verossimilhança de um valor candidato λ para L é:
V(λ) = λ−n, para λ ≥ m; V(λ) = 0, para 0 < λ < m.
Um limite superior inferior a m é incompatível com a observação. Entre os valores admissíveis, λ−n diminui quando λ aumenta. Logo, a maximização ocorre em λ = m, e o estimador de L é M. Como o desvio padrão da uniforme é L/√12, a propriedade de invariância fornece:
Estimador de máxima verossimilhança do desvio padrão = M/√12.
Observe a função da explicação sobre o intervalo: ela mostra por que o máximo está na fronteira admissível. Procurar apenas um ponto em que a derivada se anula não resolve essa maximização.
Distribuição exata do estimador
Para 0 ≤ t ≤ L, o evento M ≤ t exige que todas as observações sejam menores ou iguais a t. Pela independência:
P(M ≤ t) = P(X1 ≤ t, …, Xn ≤ t) = (t/L)n.
A função de distribuição é zero para t < 0 e um para t > L. Derivando no interior do intervalo, obtemos a densidade:
fM(t) = n tn−1/Ln, para 0 < t < L, e zero fora desse intervalo.
A passagem do evento conjunto para o produto das probabilidades merece aparecer no texto: é onde a independência justifica a expressão. Também confira a palavra exata no comando antes de recorrer a uma aproximação.
Erro quadrático médio: inclua o viés
Integrando t fM(t) e t² fM(t) no intervalo (0, L), encontramos:
E[M] = nL/(n + 1).
E[M²] = nL²/(n + 2).
Portanto, o viés é E[M] − L = −L/(n + 1). Subtraindo o quadrado da média do segundo momento:
Var(M) = nL²/[(n + 1)²(n + 2)].
O erro quadrático médio (EQM) reúne a variância e o quadrado do viés:
EQM(M) = Var(M) + (E[M] − L)² = 2L²/[(n + 1)(n + 2)].
No critério de correção desse comando, apresentar somente a variância, sem considerar o viés, corresponde a desenvolvimento parcial. Ao revisar, procure o termo que representa cada componente do EQM.
Como organizar cálculos e explicações?
Organize a resposta na sequência dos comandos, definindo a notação antes de utilizá-la e ligando cada expressão à etapa que ela resolve. Reserve espaço para as justificativas: a hipótese adotada, a propriedade aplicada e a interpretação do resultado precisam ser identificáveis durante a leitura.
Os cadernos do TSE e da PGDF disponibilizavam 30 linhas. Esse limite pertence àquelas provas e não deve ser tratado como regra de toda discursiva de Estatística do Cebraspe.
Para treinar, use esta sequência:
- Liste as entregas. No TSE, separe explicações e exemplos. Na PGDF, identifique os três resultados matemáticos pedidos.
- Escolha uma notação estável. Se M representa o máximo amostral, mantenha esse símbolo até o fim e diferencie variável aleatória de valor observado.
- Localize a justificativa de cada passagem. Escreva por que a verossimilhança é maximizada naquele ponto ou por que uma probabilidade conjunta pode ser fatorada.
- Reescreva no espaço da prova. Reduza comentários de estudo e repetições, preservando o desenvolvimento necessário para responder aos comandos.
- Compare com o padrão. Marque separadamente erro de cálculo, justificativa ausente e pedido não atendido. Cada problema exige uma correção diferente.
Perguntas frequentes
Uma discursiva de Estatística pode exigir mais explicação do que cálculo?
Sim. O exemplo do TSE solicitou relações entre testes, aplicações e condições de uso. A preparação deve incluir a escrita dessas explicações, além da resolução de exercícios numéricos. O verbo e os complementos do comando indicam o desenvolvimento necessário.
Posso usar uma notação diferente da apresentada no padrão?
Como orientação de escrita, defina símbolos usuais e mantenha seu significado ao longo da resposta. Se o enunciado já fornecer uma notação, aproveite-a para evitar ambiguidades. Essa recomendação não substitui eventuais instruções específicas da sua prova.
Por que o erro quadrático médio ainda contém L, se L é desconhecido?
Porque o erro quadrático médio descreve o desempenho do estimador em amostras repetidas, para o verdadeiro valor do parâmetro. Na questão da PGDF, o pedido era obter essa expressão teórica. Substituir L pelo máximo observado para produzir uma estimativa numérica seria uma etapa diferente da solicitada.
Prepare o próximo treino
Resolva primeiro a questão do TSE, conferindo se cada aplicação foi exemplificada. Em outro treino, desenvolva a questão da PGDF e explique por escrito as passagens entre as fórmulas. Compare as respostas com os padrões definitivos e refaça os trechos em que a justificativa ficou ausente.
Para dar continuidade à preparação, consulte os cursos de discursiva do Você Concursado e conheça a Academia de Discursivas. Confira o público, o conteúdo e o formato das opções disponíveis para escolher uma preparação compatível com sua prova.